अभाज्य संख्या : अभाज्य संख्या वह प्राकृतिक संख्याएं है 1 से बड़ी होती है, जिनका 1 और स्वयं को छोड़ कर कोई धनात्मक भाजक नहीं होता है।
उदाहरण के लिए 2, 3, 5, 7, 11, 13, इत्यादि अभाज्य संख्याएं है।
सह-अभाज्य संख्या (Co-Prime Number) : दो संख्याओं को एक-दुसरे के सापेक्षतः अभाज्य, पारस्परिक रूप से अभाज्य (mutually prime), या सह-अभाज्य (Co-Prime Number) कहा जाता है, जब उनका कोई लघुत्तम समापवर्त्य नहीं होता या केवल एक मात्र धनात्मक उभयनिष्ट गुणन-खंड 1 होता है। दुसरे शब्दों में दो संख्यायें सह-अभाज्य संख्या (Co-Prime Number) कहलाती यदि उनका महत्तम समापर्वतक 1 होता है।
गुणनखंड : संख्यायें दी गयी संख्यायों का गुणनखंड कहलाती है, जब वह उस संख्या से पूर्णत: विभाजित हो जाती हैं।
इस प्रकार 18 के गुणनखंड 1, 2, 3, 6, 9 और 18 हैं।
समापर्वतक (Common Factors) : दो या दो से अधिक संख्ययों के समापर्वतक वह संख्या है, जो एक दुसरे से पूर्णत: विभाजित हो जाती हैं।
इस प्रकार प्रत्येक संख्या - 2, 4 और 8, 8 और 24 के समापर्वतक (Common Factors) हैं।
गुणज : जब एक संख्या दूसरी से पूर्णत: विभाजित हो जाती है, तो पूर्व की संख्या उत्तरार्द्ध संख्या की गुणज कहलाती है।
इस प्रकार 45 के गुणज है 1, 3, 5, 9, 15 और 45.
सामान्य गुणक (Common Multiple) :
सामान्य गुणक वे दो या दो से अधिक संख्या है, जो के दुसरे से पूर्णत: विभाजित हो जाती हैं।
उदारहण के लिय 12, 24 और 36 सामान्य गुणक है 3, 4, 6 और 12 के।
प्रमुख गुणनखंड (Prime Factorisation) :
किसी प्राकृतिक संख्या के प्रमुख गुनखंड घातीय रूप में व्यक्त किया जाता है उदाहरण के लिए—
(1) 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2^3 x 3.
(2) 420 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 2^2 x 3 x 5 x 7
महत्तम समापर्वतक (H.C.F.) या महत्तम सामान्य भाजक या महत्तम मापक (G.C.M.) सभी पर्याय शब्द हैं:
दो या दो से अधिक संख्ययों महत्तम समापर्वतक वह बड़ी से बड़ी संख्या है जोकि एक दुसरे को बिना किसी शेषफल के पूर्णत: विभाजित कर देता है :
दिए गए संख्या समुच्चय से महत्तम समापर्वतक ज्ञात करने के विधि:
विधि 1 : प्रमुख गुणनखंड (Prime Factorisation) विधि
दी गयी प्रत्येक संख्या को प्रमुख गुणनखंड (Prime Factorisation) के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें। प्रमुख गुणनखंड (Prime Factorisation) की कम से कम शक्ति/ अनुक्रमणिका का गुणनफल महत्तम समापर्वतक (H.C.F.) प्रदान करता है।
उदाहरण I : 8 और 14 का प्रमुख गुणनखंड (Prime Factorisation) विधि की द्वारा महत्तम समापर्वतक (H.C.F.) ज्ञात करें।
हल
8 = 2 x 2 x 2
14 = 2 x 7
8 और 14 का सामान्य गुणनखंड = 2
महत्तम समापर्वतक (H.C.F.) = 2 महत्तम समापर्वतक (H.C.F.)
उदाहरण II : 24, 36 और 72 का प्रमुख गुणनखंड (Prime Factorisation) विधि से महत्तम समापर्वतक (H.C.F.) ज्ञात करें
24 = 2 x 2 x 2 x 3
36 = 2 x 2 x 3 x 3
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3
24, 36 और 72 का महत्तम समापर्वतक (H.C.F.) = कम से कम शक्ति/ अनुक्रमणिका सहित गुणनफल गुणन खंडो के साथ
इस 24, 36 और 72 प्रकार महत्तम समापर्वतक (H.C.F.) = 12
विधि 2 : क्रमागत भाज्य विधि (Successive Division method) :
बड़ी संख्या को छोड़ी संख्या से विभाजित करे, अब भाजक को शेषफल से विभाजित, इस प्रक्रिया को शुन्य आने तक दोहराते रहे, अंतिम भाजक प्रकार महत्तम समापर्वतक (H.C.F.) है ।
उदाहरण 1 : 8 का 14 महत्तम समापर्वतक (H.C.F.) क्रमागत भाज्य विधि? (Successive Division method) से ज्ञात करों?
8 | 14 | 1
8
6 | 8 | 1
6
2 | 6 | 3
6
0
लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.)
दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) छोटी से छोटी संख्या है जोकि सभी दी गई संख्या से विभाज्य है।
दी गयी संख्या समुच्चय से लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) ज्ञात करें :
विधि 1 : प्रमुख गुणनखंड (Prime Factorisation) विधि :
दी गयी संख्या के गुणनखंड करें। प्रमुख गुणनखंड (Prime Factorisation) की अधिक से अधिक शक्ति/ अनुक्रमणिका का गुणनफल लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) प्रदान करता है।
उदाहरण 1 : 8 और 14 का लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) प्रमुख गुणनखंड (Prime Factorisation) विधि से ज्ञात करें ?
हल
8 = 2 x 2 x 2
14 = 2 x 7
8 और 14 का लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) = सभी दी गयी संख्यायों के गुणनखंड एक जैसे गुणनखंड (Prime Factorisation) के बड़े अनुक्रमणिका (index) के साथ।
= 2^3 x 7 = 56.
इस प्रकार 8 और 14 लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) = 56
विधि 2 : विभाज्य विधि
8 और 14 का लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) ज्ञात करें?
2 | 8, 14
|4, 7
दिए हुए संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) = भाजक और शेषफल का गुणनफल = 2 x 4 x 7 = 56.
महत्तम समापर्वतक (H.C.F.) और लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) सम्बन्धित कुछ महत्वपूर्ण सूत्र
(1) दी गयी भिन्न का महत्तम समापर्वतक (H.C.F.) = महत्तम समापर्वतक (H.C.F.) का अंश/ लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) का हर
(2) दी गयी भिन्न का लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) = लघुत्तम समापवर्त्य (L.C.M.) का अंश/ महत्तम समापर्वतक (H.C.F.) का हर
(3) दो संख्याओ का गुणनफल (पहली संख्या x दूसरी संख्या) = H.C.F. X L.C.M.
(4) दी गयी संख्या का महत्तम समापर्वतक (H.C.F.) सदैव उसके लघुत्तम समापवर्त्य से विभाजित हो जाता है।
(5) कोई बड़ी से बड़ी संख्या x, y, z से विभाजित होती है और शेषफल R छोड़ती है इस स्थिति में = H.C.F. of (x-R), (y-R), (z-R).
(6) कोई बड़ी से बड़ी संख्या x, y, z से विभाजित होती है और वैसा ही शेषफल छोड़ती है = = H.C.F. of (y-x), (z-y),
(7) बड़ी से बड़ी संख्या x, y, z से विभाजित होती है और शेषफल a,b,c छोड़ती है = H.C.F. of (x-a), (y-b), (z-c).
(8) छोटी से छोटी संख्या जब वह x, y, z विभाजित होती है और प्रत्येक दशा में R शेष छोड़ती है = (L.C.M. of x, y, z) + R
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